La historia del álgebra inició en el antiguo Egipto y Babilonia, donde eran aptos de solucionar ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones inespecíficas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando básicamente los mismos métodos que hoy se muestran.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante siguieron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta numerosas soluciones atrayentes para ecuaciones inespecíficas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre determinación de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-ŷabr que significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros obras escritas árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría básica de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes elementales e identidades del álgebra, y resolvió conflictos tan liosos como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas empleando abreviaturas apenas ocasionalmente; sin embargo, en el medievo, los matemáticos árabes eran aptos de detallar cualquier potencia de la incógnita x, y realizaron el álgebra básica de los polinomios, aunque sin utilizar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam exhibió cómo evidenciar las raíces de ecuaciones cúbicas empleando los segmentos conseguidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwarizmi fue divulgada en el siglo XII. A comienzos del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2×2 + cx = d. Fibonacci había se desplazado a países árabes, por lo que con seguridad usó el método arábigo de aproximaciones repetidas.
A comienzos del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general conforme las perseverantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, algunos matemáticos de los siglos siguientees pretendieron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Pero, a comienzos del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois probaron la inexistencia de dicha fórmula.
Un avance significativo en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Pero, la contribución más significativo de Descartes a las matemáticas fue el hallazgo de la geometría analítica, que disminuye la determinación de conflictos geométricos a la determinación de conflictos algebraicos. Su libro de geometría contiene igualmente los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la norma de los señales para contar el número de raíces legítimas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. A lo largo del siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático germánico Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el ámbito complejo (véase Número (matemáticas): Números complejos).
En los tiempos de Gauss, el álgebra había accedido en su etapa moderna. El foco de atención se desplazó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas se encontraban inspirados en el conducta de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los conjuntos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque igualmente se distinguen de ellos de forma trascendente. Los conjuntos se comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, sin embargo progresaron para llegar a ser uno de los más significativos conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron significativos contribuciones a su estudio. Las cuaternas eran descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.
Posteriormente al hallazgo de Hamilton, el matemático germánico Hermann Grassmann comenzó a inspeccionar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico americano J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, tal como Hamilton había hecho con las cuaternas. La holgada autoridad de este enfoque abstracto llevó a George Boole a redactar Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde ese momento, el álgebra moderna —igualmente llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han conseguido resultados significativos y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en numerosas otras ciencias.
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